Este blog está orientado a aquellas personas que les gusta pensar, razonar y enfrentarse a retos en forma de problemas matemáticos y de lógica.
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jueves, 9 de abril de 2020
Semicircunferencia inscrita en un triángulo rectángulo
¿Cuál es el radio de la semicircunferencia dibujada dentro del triángulo rectángulo?
Lo primero sería calcular la longitud del lado AC, que se puede hacer aplicando Pitágoras ya que estamos trabajando con un triángulo rectángulo. Llamando x a la hipotenusa (lado AC), quedaría que x² = 12² + 5² x² = 144 + 25 x² = 169 x = Raíz cuadrada de 169 = 13 Podemos trazar el radio que vaya desde el centro (que estaría situado en el lado AB) hasta el punto de tangencia con el lado AC, y podríamos enumerar otros dos puntos (el punto D sobre el lado AB y el punto E sobre el lado AC). Si BC mide 5, entonces CE tiene que medir también 5. Si el lado AC mide (todo él) 13, habría que quitar lo que mide el segmento AE, que sería 13-5, es decir, 8. Ahora se puede utilizar la semejanza de triángulos y obtener una ecuación tal que esta (siendo r el radio). r/8 = 5/12 Despejando aquí la r, quedaría que es (8 · 5)/12. Haciendo los cálculos, sería 40/12 = 10/3, que da más o menos 3,33 (sin unidades porque no las especifica en el enunciado, aunque yo lo pondría en cm). Un saludo.
Vale, creo que ya se lo de BC y EC. Se forma un triángulo equilátero que tiene de lados BC, EC y BE, entonces los tres lados tienen que medir lo mismo, en este caso 5.
No es equilátero, sino isósceles. Si trazamos desde un punto C dos rectas (diferentes) que sean tangentes a una circunferencia, vemos que la distancia desde el punto C a cada uno de los puntos de tangencia es la misma. La distancia EB puede ser otra diferente.
Lo primero sería calcular la longitud del lado AC, que se puede hacer aplicando Pitágoras ya que estamos trabajando con un triángulo rectángulo. Llamando x a la hipotenusa (lado AC), quedaría que x² = 12² + 5²
ResponderEliminarx² = 144 + 25
x² = 169
x = Raíz cuadrada de 169 = 13
Podemos trazar el radio que vaya desde el centro (que estaría situado en el lado AB) hasta el punto de tangencia con el lado AC, y podríamos enumerar otros dos puntos (el punto D sobre el lado AB y el punto E sobre el lado AC). Si BC mide 5, entonces CE tiene que medir también 5. Si el lado AC mide (todo él) 13, habría que quitar lo que mide el segmento AE, que sería 13-5, es decir, 8. Ahora se puede utilizar la semejanza de triángulos y obtener una ecuación tal que esta (siendo r el radio).
r/8 = 5/12
Despejando aquí la r, quedaría que es (8 · 5)/12. Haciendo los cálculos, sería 40/12 = 10/3, que da más o menos 3,33 (sin unidades porque no las especifica en el enunciado, aunque yo lo pondría en cm). Un saludo.
Bien Noel!!
ResponderEliminarEstá bien resuelto...
pero no aclaras el por qué de:
Si el lado BC mide 5, entonces CE tiene que medir también 5.
Es cierto que es así, pero...
¿por qué?
PISTA 1: Haz el dibujo y observa qué figura geométrica aparece.
ResponderEliminarQuizás puedas explicar el por qué BC=CE.
PISTA 2: Puedes buscar otra relación de proporcionalidad que no te obligue a tener que suponer que BC=CE.
Vale, creo que ya se lo de BC y EC. Se forma un triángulo equilátero que tiene de lados BC, EC y BE, entonces los tres lados tienen que medir lo mismo, en este caso 5.
ResponderEliminarNo es equilátero, sino isósceles.
EliminarSi trazamos desde un punto C dos rectas (diferentes) que sean tangentes a una circunferencia, vemos que la distancia desde el punto C a cada uno de los puntos de tangencia es la misma.
La distancia EB puede ser otra diferente.